性质及应用

概念及其性质

　　如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。

　　定义：设a,b是给定的数，b≠0，若存在整数c，使得a=bc,则称b整除a，记作b|a，并称b是a的一个约数(因子)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a。

　　整数整除性

　　（1）1与0的特性：

　　1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.

　　0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.

　　（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

　　（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

　　（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

　　（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

　　（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

　　（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2=7，所以133是7 的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2=595 ， 59－5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。

　　（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

　　（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

　　（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

　　（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1。

　　（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

　　（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

　　（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

　　（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

　　（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

　　（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

　　（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除

　　整数的奇偶性

　　(1)奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数；

　　（2）奇数的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶数的平方可以表示为8m或（8m+4)的形式；

　　（3）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。

　　奇偶性的哲学内涵

　　（作者：奇东，单位：奇东）

　　偶数能被2自然整除，奇数不能被2自然整除。奇数却能被2“相对整除”，如果定义小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…拥有“相对整”性质的话。其哲学意义：传统意义的偶数能被2整除、奇数不能被2整除是指奇数与偶数二者的排斥性、对立性、差异性，偶数能被2整除、奇数不能被2整除、奇数却能被2在抽象意义下“相对整除”是指奇数和偶数的异中之同、差异中的共性与同一性，恰好与哲学的对立统一规律相吻合，因此说，奇数与偶数（或整数与半整数）相反相成，蕴涵着哲学的对立统一规律！常言道，最简单的、最质朴恰恰是最深奥的。一个最简单的数值逻辑，蕴涵着最深刻的真理----对立统一规律。

　　整数拥有单位“1”，“相对整”分数拥有分数单位“1/2”。依照逻辑、概念、定义，分数就是分数。半整数拥有分数性质，然而却偏偏冒出一个“相对整”性质，考验人类科学的勇气与智慧。

　　完全平方数

　　完全平方数及其性质

　　能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：

　　（1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；

　　（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；

　　（3）奇数平方的十位数字是偶数；

　　（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；

　　（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；

　　（6）平方数的约数的个数为奇数；

　　（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。

　　（8）设正整数a,b之积是一个正整数的k次方幂（k≥2），若（a,b）=1，则a,b都是整数的k次方幂。一般地，设正整数a,b,c……之积是一个正整数的k次方幂（k≥2），若a,b,c……两两互素，则a,b,c……都是正整数的k次方幂。

有理数分类

数学分类

整数的分类

　　以0为界限，将整数分为三大类

整数数轴

　　1.正整数

　　即大于0的整数如：1，2，3······等等。

　　2.零

　　既不是正整数，也不是负整数，它是介于正整数和负整数的数。　

整数

　　3.负整数

　　即小于0的整数如：-1，-2，-3······等等。

正整数

　　它是从古代以来人类计数的工具。可以说，从“一头牛，两头牛”或是“五个人，六个人”抽象化成正整数的过程是相当自然的。　正整数也可分成奇数和偶数两类。

零

　　不仅表示“没有”（“无”），更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(Zero)来自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。

负整数

　　中国最早引进了负数。《九章算术.方程》中论述的“正负数”，就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a - b=c，如果a、b是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。

奇数

　　在整数中，不能被2整除的数叫做奇数，它跟偶数是相对的。日常生活中，人们通常把正奇数叫做单数，它跟双数是相对的。

偶数

　　整数中，能够被2整除的数，叫做偶数。　偶数包括正偶数（俗称双数）、负偶数和0。　所有整数不是奇数，就是偶数。当n是整数时，偶数可表示为2n（n为整数）；奇数则可表示为2n+1（或2n-1）。在十进制里，我们可用看个位数的方式判断该数是奇数还是偶数：个位为1,3,5,7,9的数为奇数；个位为0,2,4,6,8的数为偶数。　

　　备注：现中学数学教材中规定：零和正整数为自然数。　

广义整数

　　将整数与半整数统称为广义整数，应量子力学的需要将整数扩展为广义整数，数值逻辑公理系统提供理论支持，量子力学的半整数提供客观的科学支持！

代数性质

　　下表给出任何整数a，b和c的加法和乘法的基本性质。

非负整数

　　非负整数为正整数和零的统称，就是处负整数以外的整数都叫非负整数，非负整数也叫自然数。

非正整数

　　非正整数为负整数和零的统称，就是处正整数以外的整数都叫非正整数。

计算机语言中

　　整数是对象，用一个引用指向这个对象

　　Java 中的数据类型分为基本数据类型和复杂数据类型 int 是前者>>integer 是后者（也就是一个类）