背景介绍

　　这是代数几何和微分几何中非常重要的结果。这一不等式在高维情形也有类似推广，但由于高维情形陈类很复杂，所以这类推广并不是很完善。

定义

　　在代数曲面情形，设X 是非有理曲面的代数曲面， c_1(X), c_2(X)分别是X的第一第二陈类。 Miyaoka-Yau 不等式如下表述:

　　c_1^2(X)≦3c_2(X).

　　结合诺特不等式，上述结果也可表示成

　　c_1^2(X)≦9χ(O_X).

　　这里χ(O_X)是X上结构层O_X的上同调示性类。

　　这一不等式最早由微分几何方法获得，因此不等式的误差部分可以由某些正的积分式得到。等号成立当且仅当X是某个球商曲面。

　　Miyaoka-Yau不等式在开曲面情形也有类似推广。

　　有趣的是，典范类不等式结合肖刚不等式，可以得到著名的Arakelov不等式。反过来，利用Viehweg-Zuo 不等式(Arakelov不等式的推广)的极限情形，又能重新得到典范类不等式。

　　Miyaoka-Yau 不等式的最直接应用，是估计一般型极小曲面的典范映射的次数上界。比如当典范映射的像曲面的光滑解消模型亏格为0时，可以证明典范映射次数不超过36。如果对χ(O_X)做一些条件限制，可以进一步下降典范映射的次数上界估计。