基本简介

　　等腰直角三角形的边角之间的关系：

等腰直角三角形

　　（1）三角形三内角和等于180°；

　　（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；

　　（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；

　　（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

　　（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.

　　等腰直角三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.

　　（1）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.

　　（三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等）.

　　（2）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。

　　（3）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

　　（4）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。

　　注意！①三角形的内心、重心都在三角形的内部 .②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。

　　③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边

　　中点。）④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

相关线段

　　中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形。

勾股定理

　　如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;；即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A，B，C满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式：AB=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）

其他资料

解三角形

　　在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有

　　（1）正弦定理

　　a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r (外接圆半径为r)

　　（2）余弦定理。

　　a^2=b^2+c^2-2bc*CosA cosA=c^2+b^2-a^2/2cb

　　b^2=a^2+c^2-2ac*CosB cosB=a^2+c^2-b^2/2ac

　　c^2=a^2+b^2-2ab*CosC cosC=a^2+b^2-c^2/2ab

证明方法

证法1

　　作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过点C作AC的延长线交DF于点P.

　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

　　∴ ∠EGF = ∠BED，

　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

等腰直角三角形

　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，

　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

　　∴ ∠ABC = ∠EBD.

　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

　　即 ∠CBD= 90°

　　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，

　　BC = BD = a.

　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

　　设多边形GHCBE的面积为S，则

　　a^2+b^2=c^2

证法2

　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

　　F作FN⊥PQ，垂足为N.

　　∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，

　　∴ ∠MPC = 90°，

　　∵ BM⊥PQ，

　　∴ ∠BMP = 90°，

　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.

　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，

　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，

　　∴ ∠QBM = ∠ABC，

　　又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，

　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2

证法3

　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.

　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

　　∴FI=a，

　　∴G,I,J在同一直线上，

　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

　　∠CJB = ∠CFD = 90°，

　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，

　　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，

　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

　　∴∠ABG = ∠BCJ,

　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,

　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°,

　　∵∠ABC= 90°,

　　∴G,B,I,J在同一直线上，

　　a^2+b^2=c^2

证法4

　　作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

　　BF、CD. 过C作CL⊥DE，

　　交AB于点M，交DE于点L.

　　∵ AF = AC，AB = AD，

　　∠FAB = ∠GAD，

　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

　　∵ ΔFAB的面积等于，

　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM

　　的面积的一半，

　　∴ 矩形ADLM的面积 =.

　　同理可证，矩形MLEB的面积 =.

　　∵ 正方形ADEB的面积

　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

　　∴ 即a^2+b^2=c^2

证法5

　　(欧几里得的证法)

　　《几何原本》中的证明

　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

　　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：

　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。

　　其证明如下：

　　设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。把这两个结果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

证法6

　　（欧几里德(Euclid)射影定理证法）

　　如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：

　　1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC ，（3）（BC）^2;=CD·AC 。

　　由公式（2）+（3）得：

　　（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;，

　　即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2，这就是勾股定理的结论。

等腰直角三角形

证法七

　　（赵爽弦图）

　　在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：

　　4×（ab/2）+（b-a）2=c2

　　化简后便可得：

　　a2+b2=c2

　　亦即：

　　c=（a2+b2）(1/2)

　　勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

　　我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

　　在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

　　在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。

等腰直角三角形

　　1 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。

　　2. 陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系. 刊於《汉学研究》, 1989年第7卷第1期, 255-281页。

　　3. 李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章. 刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾, 1991年7月， 227-234页。

　　4. 李继闵: 商高定理辨证. 刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页。

　　5. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明. 刊於《数学传播》20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页

证法8

　　达芬奇的证法

　　三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。证明：第一张纸片多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF^2+OE^2+OF·OE 第三张纸片中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'^2+C'D'·D'E'因为S1=S2 所以OF^2+OE^2+OF·OE=E'F'^2+C'D'·D'E'又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF所以OF·OE=C'D'·D'E' 则OF^2+OE^2=E'F'^2因为E'F'=EF所以OF^2+OE^2=EF^2勾股定理得证

等腰直角三角形

定理

　　如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a^2+b^2=c^2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，一条直角边是4，斜边就是3×3+4×4=X×X，X=5。那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）

三角形相关定理

重心定理

　　三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．

　　上述交点叫做三角形的重心.

外心定理

　　三角形的三边的垂直平分线交于一点．

　　这点叫做三角形的外心.

垂心定理

　　三角形的三条高交于一点．

　　这点叫做三角形的垂心.

内心定理

　　三角形的三内角平分线交于一点．

　　这点叫做三角形的内心.

旁心定理

　　三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．

　　这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．

　　三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．

　　它们都是三角形的重要相关点．

中位线定理

　　三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

　　三边关系定理

　　三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

　　三角形面积计算公式

　　S(面积)=a(边长)h(高)/2---三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半

梅涅劳斯定理

　　梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

　　证明：

　　过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,

　　则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。

　　三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1

　　它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

　　另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐,不看书根本记不住,下面从别人转来一些方法帮助书写

　　为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。

　　我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。

　　例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。

　　另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。

　　从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明：

　　方案 ① ——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。

　　按照这个方案，可以写出关系式：

　　（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。

　　现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。

　　从A点出发的旅游方案还有：

　　方案 ② ——可以简记为：A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式：

　　（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。从A出发还可以向“C”方向走，于是有：

　　方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可写出公式：

　　（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。从A出发还有最后一个方案：

　　方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此写出公式：

　　（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。

　　我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。

　　值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B点时，就会有四项因式。而在C点和F点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。公式为四项时，有的景点会游览了两次。

　　不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看。

　　现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。

特殊的等腰直角三角形

　　证明在所有斜边相等的RT△中,面积和周长最大的都是等腰RT三角形

等腰直角三角形

　　解:首先证明面积最大的是它

　　辅助线:将等腰RT△ACB,任意RT△AC'B都画出外接圆,AB为圆的直径.(其实这样做是为了满足斜边AB相等,且是RT△).再做CF⊥AB,C'F⊥AB.(蓝色辅助线)

　　∵在半圆中,弧AB上取一点做AB垂线,可知垂线最长的就是CO(F),即圆的半径.

　　∴S△=底×高÷2=CF×AB÷2.而CF所在△就是等腰RT△,所以在所有斜边相等的RT△中,面积最大的都是等腰RT三角形.

　　其次解:证明周长最大的还是它

　　辅助线:延长BC到E,使得CE=AC.延长BC'到D,使得C'D=C'A.连接DE,AD,AE.

　　∵AC'⊥BDAC⊥BE.C'D=C'A,AC=CE.

　　∴等腰RT△ACE,等腰RT△ADC'.

　　∴∠AEB=∠ADB=45°

　　又∵AE,BD为四边形ADEB的对角线.

　　∴四边形ADEB可以内接在一个圆当中(这其实大家也可以用相似证明).

　　∴∠EDB=∠EAB.

　　∵AC垂直平分BE,且AC=CE=CB.

　　∴等腰RT△AEB.EA⊥AB.

　　∴∠EDB=∠EAB=90°

　　∴RT△EDB.

　　∵RT三角形当中斜边恒大于直角边.

　　∴EB>BD.

　　又∵EB=AC+CB. BD=AC'+C'B.

　　∴AC+CB>AC'+C'B.

　　因为RT△ACB周长=AB+(AC+CB).

　　RT△AC'B周长=AB+(AC'+C'B).

　　∴等腰RT△ACB周长>任意RT△AC'B周长.（斜边相等）